中國科學院院士、數學家袁亞湘在《數學漫談》中指出：數學之慧在於數學需要想象力。有人認為，想象力是天生的，后天難以改變。我不同意這一說法。人和人之間的天賦會有差異，但任何人的想象能力只要經過培養和啟發，就一定可以得到提高。數學想象力關鍵在於“激發”和“培育”，要善於發現學生的數學想象潛能，為其發展創造條件、指示方向、提供實踐機會等，使其數學想象潛能最大限度地得以發揮與施展。

要使學生的數學想象力有效提升，必須了解和遵從數學想象的機理。數學想象本質上是一種“自由知性主觀下的再生”，還有比“知性主觀”更高層次的，如“靈性”“智性”的“主觀”。數學想象力要素有感覺、直覺、經驗、知識、聯想、選擇、類比、猜想、合成，等等。數學想象力是一種統合、集成感知覺與其他神經機能，賦予事物新形式、新認知的能力。數學想象的基礎是記憶表象、知識的回憶、聯想，基本要求是“新奇與合理的統一”，往往遵循的是異常、超常、反常邏輯。作為一種高級智能，數學想象是數學知識運用、數學才能、數學美、數學智慧的綜合顯示，是一種連接感性和知性的高級認知過程，本質上是一種形象思維，數學知識的發現和創造很大程度上也是根源於這種形象思維。數學想象涉及表象的分解、組合、類比、聯想，最后才是想象。在數學想象過程中，需要選出數學知識之間不同的要素，嘗試進行不同組合，看看怎樣會起作用，並根據已有知識來取舍。

如何強化數學想象力？既要增加數學知識儲備，又要適時跳出思維定式，靈活組合數學知識。在數學想象的過程中，數學知識是想象力通往現實的橋梁和道路，在邏輯力的帶領下，想象力才能有目的有方向地“照進現實”。很多人的想象力很豐富，想的很多，但沒有足夠的數學能力和才華，就會在駕馭想象力方面力不從心。而數學才華和能力，本質上就是邏輯思維和數學知識的靈活運用。

其實，數學想象力也是分等級的，它是由數學幻想抽象能力、數學幻想意象能力、數學幻想形象能力、數學幻想具象能力和數學想象的能力所組成。每一級別想象力的實現，都需要不同量級的新信息和知識作為橋梁和通路，同時，需要自由探索和操作實踐。正如著名數學家懷特海所指出的，整個數學所涵括的正是組織起一系列協助我們在思考過程中補助想象的工具。不同數學想象力等級的人，其數學成就通常也不同。我們所能做的就是力求讓數學想象的不同層級之間進行轉變、提升和迭代躍級。這需要了解、探究和遵從數學想象的機理，精心設計並有效組織實施，積累豐富的實踐經驗。

培育數學想象力，關鍵在於學會數學家“做數學”的思維方式。實踐中，養護數學想象力的數學教育，應滲透到學生的數學求知與認知建構中。想象是最自由的思考，可以超越時間、空間和邏輯。數學認知、思維與創造的邊界，就是數學想象力到達的邊界。正如法國作家雨果所說：“想象就是深度，這正是我們已經指出的，並且為思想家所共知的一個真理……科學到了最后階段，便遇上了想象。”雨果說的“科學到了最后階段，便遇上了想象”似可商榷。事實上，在最初階段，當數學家面對感興趣的事物時便會遇到想象。數學教育要養護數學想象原動力——數學家的詩性、自由精神，養護其源泉——本能、天賦、游戲……與世界靈性、智性對話的欲求。想象是心的游戲，是不管和事實距離多大，隻以自己為對象的任意的游戲。數學想象力源於數學家本性中的游戲精神。數學家的詩性精神是數學想象力不竭的動力來源，要精心維護和保養。數學游戲是數學家們想象力創造世界的預演，是數學想象本能、智慧的嶄露頭角，也是數學創造與發現、發明的萌芽。

數學思維的奧秘就在於數學家獨特的思考方式。數學家善於抽象，能夠將現實世界中的問題轉化為數學模型、猜想或假設，並通過邏輯推理來驗証。在此，數學家的想象力使得他們能夠不斷超越數學的邊界，發現新的思路、方法、問題和理論。正如菲爾茨獎獲得者陶哲軒曾指出的那樣：創造力是一個數學家最基本的素養。數學思維就是游戲思維，就是窮盡你的想象力去創造一個世界，然后用嚴謹的論証和邏輯推理去得到一個答案。這是一種高度抽象並解決問題的能力，這才是數學真正能賦予孩子更多可能性的東西。

實踐中，數學知識的發展一般都要經歷漫長的歷史進程，其中不乏艱難與曲折，離不開數學家們執著奮斗與努力想象的過程。只是為了簡明起見，編寫教材時所有的數學知識（概念、原理）都以定論（定義、定理、公式等）形式出現，幾乎全部略去了數學知識發生的過程與數學概念的形成探索過程，這對於培養學生的數學想象力顯然是不利的。各個層次的數學課程中都缺失了這樣重要的一環——對模糊和混亂的數學知識創造過程的忠實描述，而這個缺失是數學課讓最積極的學生也難以養成數學想象力的主要原因之一。如果對數學概念創造過程中的“思想之舞”沒有深刻認識，就無法充分領悟數學想象的魅力和美麗，也無法體會數學想象在數學創造過程中的作用。我們應努力挖掘和創造條件，盡量為想象力發展架橋開路，提供愉悅、順暢的發展環境，讓想象力的種子能自由地生根、發芽。

然而我們看到，當前數學教育界對養護想象力存在一定的認識誤區，還普遍存在著“數學想象是數學家的專利，數學想象隻有從事數學創造的數學家才需要，一般學生的數學學習並不需要數學想象”的認識。一些人要麼認為“數學想象力是一種可訓練的技能，與天賦無關”，要麼認為“數學想象力由天賦決定無法培育”，還有人認為“培育數學想象力與數學知識的教育之間存在矛盾，數學知識的教育是反想象的，數學知識學多了就會失去數學想象力”。

事實上，任何一個孩子都具有想象力的潛能，他們有時天馬行空、稀奇古怪的想法其實正是其可貴的想象力的火花。我們要精心呵護孩子頭腦中產生的想象力火花，要將培育數學想象力作為數學智育的重要追求，扎扎實實、持之以恆地落實在數學教育實踐中。

至於“培育數學想象力與數學知識的教育之間存在矛盾”，也許不無道理。數學知識的教育追求精確、統一、規范，數學想象力則重猜測、求異、反規范。數學知識的教育，尤其授受式、封閉式的教育，確實會對數學想象力發展造成一定的抑制，但只要處理好二者關系，採用開放式而非封閉式、存在式而非佔有式的教學方法，使數學知識的教育與喚醒開發數學想象力相伴而行，其矛盾並非不可調和。正如蘇聯教育家蘇霍姆林斯基所說：“教師把准備好的種種原理、結論和推理一股腦兒塞進兒童的腦子，往往不讓兒童有可能哪怕接觸一下思維和活的言語的源泉，這就捆住了他們的幻想、想象力和創造力的翅膀。”保持數學理性與感性生活的交融，讓孩子不斷地得到思維激活，數學想象力才不會枯竭﹔以充滿想象力的方式傳知、求知，這樣的數學知識教育才能反哺數學想象力的養成。